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Al di là di tutto, in matematica bisognerebbe ragionare di più su quello che si vuole ottenere, prima di seguire procedimenti perché "così ha fatto la prof".Originariamente inviata da Pikkola*Folletta
Se tu parti da |f(x) - L| < ε, ok può essere sensato, ma allora andiamo avanti di conseguenza. L è il limite, che è -5 in questo esercizio, mentre il punto di accumulazione (parolone, cioè il punto a cui deve tendere x) è -1.
Questo significa che f(x) deve avvicinarsi a -5, sì ma deve avvenire quando x si avvicina a -1. Se io risolvo
|x^2 - 6 - (-5)| < ε
|x^2 - 1| < ε
Ecco ora come in una normalissima disequazione con il modulo, le soluzioni si sdoppiano, in particolare qui diventa
-ε < x^2 - 1 < ε
1 - ε < x^2 < 1 + ε
Ora fermiamoci un secondo. Non abbiamo ancora risolto effettivamente la disequazione, ma abbiamo ottenuto qualcosa che ci va ugualmente bene, perché la matematica non si fa partendo dai procedimenti e arrivando magicamente ai risultati, bensì partendo dal risultato e applicando un procedimento che permetta di raggiungerlo. Ora noi sappiamo che per essere verificata
|f(x) - L| < ε,
allora deve essere verificata
1 - ε < x^2 < 1 + ε
cioè il quadrato di x deve essere sufficientemente vicino a 1. Ma dato che il quadrato di un numero è sempre più distante da 1 (o da -1) del numero stesso è ovvio che se è vera la disequazione sopra allora sono vere anche:
1 - δ < x < 1 + δ
-1 - δ < x < -1 + δ con 0 < δ < ε
In particolare, a noi interessa la seconda, perché stiamo facendo il limite per x che tende a -1 e quella è proprio la disequazione che dimostra che il limite è corretto. In verità, avremmo potuto anche risolvere completamente la disequazione iniziale, arrivando quindi ad esprimere δ in funzione di ε, cosa che sarebbe piaciuta di più ad un professore di matematica, però così si capisce meglio il ragionamento a scapito del procedimento meccanico.
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