Disequazioni esponenziali fratte

[Jean Grey]

Mi è venuta!
pongo 2^x = y
quindi (y/y +1) + (y/y +4) -1 < 0
denominatore comune: (y^2 + 4y+y^2+y -y^2 -5y -4)/(y+1)(y+4) <0
Numeratore: y^2-4 > 0
ottengo y< -2 vel y >2
Denominatore y^2 +5y+4 > 0
ottengo y<-4 vel y>-1
Studio i segni e ottengo -4<y<-2 vel -1 < y < 2
Quindi -4 < 2^x < -2 vel -1 < 2^x < 2
la prima scrittura è impossibile perchè un esponenziale non può essere minore di zero, nella seconda considero solo 2^x < 2, ovvero 2^x < 2^1
quindi x < 1

edit: Lyla non ho notato che il denominatore è sempre positivo...mi sono complicata la vita inutilmente xD

[Lyla]

[...]
edit: Lyla non ho notato che il denominatore è sempre positivo...mi sono complicata la vita inutilmente xD

Julie*
Guarda, l'errore più comune nelle disequzioni di questo tipo è moltiplicare tutto per il denominatore, disinteressandosi del fatto che bisogna fare uno studio del segno anche lì, perché non è una semplice equazione..
Quindi meglio fare un passaggio in più che sovvertire tutto

[obo]

per fortuna c'è lyla. io ti avrei risposto domani perchè ora non avevo molta voglia

[Lyla]

No, @obo..
Meno male che Lyla c'è [semi-cit.]

[Dovahkiin]

...Ammaccabanane.

[mushi]

Grazie mille a tutte e due! Stamattina il professore ce l'ha semi-spiegata (non ha fatto in tempo a finire ma vabbè) e ha fatto come voi ponendo 2^x = t. Ora mi è tutto più chiaro

[ph2]

mushi

E' corretto il risultato del libro

Il metodo [a mio parere] più semplice è quello di trasformarla in un'equazione frazionale polinomiale con la sostituzione: 2^x=t.
A quel punto la tua disequazione diventa:

t/(t+1) + t/(t+4) < 1

Minimo comune multiplo:

[t(t+4) + t(t+1)]/[(t+1)(t+4)] < 1

e quindi

[t(t+4) + t(t+1) - (t+1)(t+4)]/[(t+1)(t+4)] < 0.

Dopo semplici calcoli algebrici ottieni:

(t^2-4)/[(t+1)(t+4)] < 0.

Ora, in un caso del tutto generale dovresti studiare segno di numeratore e denominatore ma, in realtà, per la sostituzione iniziale che abbiamo fatto, è ovvio che il denominatore è sempre positivo, perché è il prodotto di due quantità positive [ricorda che 2^x è sempre positivo!!].
Quindi è sufficiente studiare solo il segno del numeratore:

t^2-4 < 0.

L'equazione associata è

t^2 - 4 = 0

le cui soluzioni sono t=-2 o t=2. Poiché il coefficiente direttore è positivo e il verso della disequazione è <, occorre prendere valori interni, ovvero:

-2 < t < 2.

A questo punto torniamo indietro nella sostituzione:

-2 < 2^x < 2.

Poiché -2 < 2^x è sempre verificata [per lo stesso motivo detto in precedenza], l'unico contributo effettivo è dato da

2^x < 2, ovvero x<1.

Mi è venuta!
pongo 2^x = y
quindi (y/y +1) + (y/y +4) -1 < 0
denominatore comune: (y^2 + 4y+y^2+y -y^2 -5y -4)/(y+1)(y+4) <0
Numeratore: y^2-4 > 0
ottengo y< -2 vel y >2
Denominatore y^2 +5y+4 > 0
ottengo y<-4 vel y>-1
Studio i segni e ottengo -4<y<-2 vel -1 < y < 2
Quindi -4 < 2^x < -2 vel -1 < 2^x < 2
la prima scrittura è impossibile perchè un esponenziale non può essere minore di zero, nella seconda considero solo 2^x < 2, ovvero 2^x < 2^1
quindi x < 1

edit: Lyla non ho notato che il denominatore è sempre positivo...mi sono complicata la vita inutilmente xD

Quanto mi arrapano le donne che sanno di matematica!

[Echoes]

Si, devi porre 2^x uguale a t, n o quello che vuoi
Risolvi trovandoti il valore di t e poi lo eguagli a 2^x

[Thalion]

Ecco chiedi a loro, perchè io sono allergica.
Sono entrata nel topic e mi brudono già le braccia, maledetta allergia alla matematica.