L'angolo del matematico

Non mi sembra di aver visto un angolo del genere; quindi ci penso io a rimediare aprendo questo topic in cui si può parlare di argomenti riguardante la matematica vera e propria con riferimenti alle sue varie applicazioni immediate, cercando di non annoiare nessuno!

Un po' di nicchia questo thread... soprattutto perche' per affrontarlo seriamente e senza scoprire l'acqua calda, dubito bastino le conoscenze di una scuola superiore.

2+2 è sempre uguale a 4?

Se prendo come punto di riferimento l'addizione aritmetica, la risposta è ovvia.
Se invece prendo in considerazione la teoria dei gruppi (Gruppo=struttura algebrica con un'operazione binaria e un elemento neutro) l'aritmetica di dominio comune inizia a scricchiolare. Faccio un esempio:
Preso un gruppo additivo Z4={0,1,2,3}, composto dai resti della divisione per 4, se faccio ancora la somma 2+2 in questo caso ottengo 0.
Quindi mi è bastato trovare un caso in cui 2+2!=0 per dire che 2+2 non è sempre uguale a zero.
Più tardi magari faccio un esempio per quanto riguarda la moltiplicazione 2*2, che anche in questo caso non sempre vale 4 :)

Oddio, io non ci capisco nulla di mate! Ma mi interessa :P

se prendo il gruppo moltiplicativo Z*4={1,3} formato dai resti della divisione coprimi tra loro, ottengo 2*2=1
Gli elementi di un gruppo si chiamano classi, infatti sarebbe più corretto scriverle nel modo seguente: [2]*[2]=[1]

Spero che sia abbastanza e relativamente chiaro!

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Originariamente inviata da BlackHole

Spero che sia abbastanza e relativamente chiaro!

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No XD

Non è per nulla chiaro :lol:

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Originariamente inviata da BlackHole

2+2 è sempre uguale a 4?

Se prendo come punto di riferimento l'addizione aritmetica, la risposta è ovvia.
Se invece prendo in considerazione la teoria dei gruppi (Gruppo=struttura algebrica con un'operazione binaria e un elemento neutro) l'aritmetica di dominio comune inizia a scricchiolare. Faccio un esempio:
Preso un gruppo additivo Z4={0,1,2,3}, composto dai resti della divisione per 4, se faccio ancora la somma 2+2 in questo caso ottengo 0.
Quindi mi è bastato trovare un caso in cui 2+2!=0 per dire che 2+2 non è sempre uguale a zero.
Più tardi magari faccio un esempio per quanto riguarda la moltiplicazione 2*2, che anche in questo caso non sempre vale 4 :)

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Non avevi parlato di "applicazioni immediate"?
No perche'... se si parla delle argomentazioni che hai proposto tu allora e' facile. Se si parla di qualcosa di immediatamente e praticamente applicabile... lo e' meno.

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Originariamente inviata da Gabriel8181

Non avevi parlato di "applicazioni immediate"?
No perche'... se si parla delle argomentazioni che hai proposto tu allora e' facile. Se si parla di qualcosa di immediatamente e praticamente applicabile... lo e' meno.

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Per iniziare ho optato per la cosa piu banale possibile...Dopodichè mi farebbe piacere approfondire qualcosa sulle applicazioni...

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Originariamente inviata da BlackHole

Per iniziare ho optato per la cosa piu banale possibile...Dopodichè mi farebbe piacere approfondire qualcosa sulle applicazioni...

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Uhm... :roll:
Sono perplesso, cmq se qualcuno e' interessato buon dialogo ;)

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Originariamente inviata da gian

Non è per nulla chiaro :lol:

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Cosa in particolare?
Z4 è il gruppo dei resti della divisione per 4, quindi generalizzando:
Zn={0,....,n-1 con n intero}
L'operazione binaria di questo gruppo è l'addizione.
Siccome 2 sta in questo gruppo posso addizionare 2 a se stesso, ovvero calcolo 2+2; il gruppo Z4 è chiuso rispetto alla somma, ciò vuol dire che 2+2 è ancora un elemento di questo gruppo e ottengo che 2+2=4 ma 4 in Z4 è pari a 0 perchè 4 diviso 4 da resto zero.

ora è un po piu chiaro?

Spero di non deviare l'orientamento che volevi dare a questo topic chiedendoti se potresti illuminarmi sul metodo di variazione delle costanti per la soluzione di equazioni differenziali del secondo ordine nella forma:

y''(t) + a(t)*y'(t) + b(t)*y(t) = f(t)

Riusciresti ad applicarlo a un esempio pratico per favore? Proprio a linee generali come ci si deve muovere, perché purtroppo è una delle poche cosette che non ho ancora affrontato e mi rimane poco tempo :(
Grazie mille ;)

Quote:

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Originariamente inviata da BlackHole

2+2 è sempre uguale a 4?

Se prendo come punto di riferimento l'addizione aritmetica, la risposta è ovvia.
Se invece prendo in considerazione la teoria dei gruppi (Gruppo=struttura algebrica con un'operazione binaria e un elemento neutro) l'aritmetica di dominio comune inizia a scricchiolare. Faccio un esempio:
Preso un gruppo additivo Z4={0,1,2,3}, composto dai resti della divisione per 4, se faccio ancora la somma 2+2 in questo caso ottengo 0.
Quindi mi è bastato trovare un caso in cui 2+2!=0 per dire che 2+2 non è sempre uguale a zero.
Più tardi magari faccio un esempio per quanto riguarda la moltiplicazione 2*2, che anche in questo caso non sempre vale 4 :)

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uh, questa cosa l'ha dimostrata un professore di cosenza xD cioè che insegna lì a quanto ne so

Questo è un topic per ragazzi che frequentano o hanno frequentato corsi universitari scientifici.
Io per quanto abbia fatto lo scientifico non posso pensare di poter capire qualcosa del genere :roll:

dimmi se ho capito bene:
ad esempio in binario io ho solo 0 e 1; quindi sempre in base binaria 1+1=0

O.o sono konvinta di non aver kapito niente:| :lol:
azz a me piace matematika ma se skrivete ste kose kambio idea!xD

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Originariamente inviata da BlackHole

Non mi sembra di aver visto un angolo del genere; quindi ci penso io a rimediare aprendo questo topic in cui si può parlare di argomenti riguardante la matematica vera e propria con riferimenti alle sue varie applicazioni immediate, cercando di non annoiare nessuno!

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dio ti benedica! dopodomani ho un esame di mate e non ho capito un caxxo!
Ma ho scoperto che sono le dispense della prof che spiegano malissimo.
Quindi.... sai dove posso trovare dei testi chiari e semplici? :P

L'esame verte su matrici (determinante, inversa, rango, etc etc)
Spazi vettoriali (con sistemi di generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi...)
Omomorfismi di matrici, vettori, etc...
Autovalori e autovettori :S

Sai dove posso trovare una semplice spiegazione di tutto ciò? :)

Quote:

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Originariamente inviata da BlackHole

2+2 è sempre uguale a 4?

Se prendo come punto di riferimento l'addizione aritmetica, la risposta è ovvia.
Se invece prendo in considerazione la teoria dei gruppi (Gruppo=struttura algebrica con un'operazione binaria e un elemento neutro) l'aritmetica di dominio comune inizia a scricchiolare. Faccio un esempio:
Preso un gruppo additivo Z4={0,1,2,3}, composto dai resti della divisione per 4, se faccio ancora la somma 2+2 in questo caso ottengo 0.
Quindi mi è bastato trovare un caso in cui 2+2!=0 per dire che 2+2 non è sempre uguale a zero.
Più tardi magari faccio un esempio per quanto riguarda la moltiplicazione 2*2, che anche in questo caso non sempre vale 4 :)

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andresti d'accordo con la mia prof. Però l'esame sulla matematica discreta, gruppi Z* l'ho passato! ahaha ma è anche bello..... soprattutto il teorema cinese del resto :P

Quote:

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Originariamente inviata da §¤PREISER¤§

Spero di non deviare l'orientamento che volevi dare a questo topic chiedendoti se potresti illuminarmi sul metodo di variazione delle costanti per la soluzione di equazioni differenziali del secondo ordine nella forma:

y''(t) + a(t)*y'(t) + b(t)*y(t) = f(t)

Riusciresti ad applicarlo a un esempio pratico per favore? Proprio a linee generali come ci si deve muovere, perché purtroppo è una delle poche cosette che non ho ancora affrontato e mi rimane poco tempo :(
Grazie mille ;)

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Ok ti provo a fare qualche esempio ;) (ps: alle costanti togli la variabile t perchè non avrebbe senso scritto in questo modo)

Prendo come esempio l'equazione differenziale y''(x)-10y(x)=0 (in questo caso ho f(x)=0, è il caso piu semplice) con y(0)=y'(0)=1.
Per prima cosa risolvo l'equazione caratteristica. Se all'inizio ho un'equazione differenziale del tipo y''+ay'+by=0, l'equazione caratteristica diventa z^2+az+b=0.
Nel nostro caso ottengo z^2-10=0 con soluzioni z=+/- rad(10)
Detto questo, la soluzione consiste nel cercare una soluzione del tipo e^(zx) (z=radici dell'equazione caratteristica)
Quindi la soluzione generale dell'equazione differenziale è data da:
y(x)=n*e^(rad(10)x)+m*e(-rad(10)x)
Basta porre y(0)=y'(0)=1 e risolvere il sistema seguente:

n+m=1
n*rad(10)-m*rad(10)=1

Alla fine ottieni la soluzione, ovvero la funzione cercata:
y(x)=(rad(10)+1/2*rad(10))*(e^(rad(10)x))+(rad(10)-1/2rad(10))*(e^(-rad(10)x))

sarà sicuramente pesante da leggere, abbi pazienza. Spero solo di averti un po chiarito i passaggi.

Ora non posso, ma domani se riesco scrivo un esempio sul caso y''(t) + a*y'(t) + b*y(t) = f(t)

Quote:

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Originariamente inviata da lordalbert

dio ti benedica! dopodomani ho un esame di mate e non ho capito un caxxo!
Ma ho scoperto che sono le dispense della prof che spiegano malissimo.
Quindi.... sai dove posso trovare dei testi chiari e semplici? :P

L'esame verte su matrici (determinante, inversa, rango, etc etc)
Spazi vettoriali (con sistemi di generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi...)
Omomorfismi di matrici, vettori, etc...
Autovalori e autovettori :S

Sai dove posso trovare una semplice spiegazione di tutto ciò? :)

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Ho capito, ti servono appunti sull'algebra lineare
Prova a vedere qui se ti soddisfa ;)
Dispense di Algebra Lineare

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Originariamente inviata da obo

dimmi se ho capito bene:
ad esempio in binario io ho solo 0 e 1; quindi sempre in base binaria 1+1=0

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Sei un informatico vero? :lol:
Per operazione binaria intendo una funzione (funzione somma e prodotto) che prende due elementi e li trasforma in un terzo elemento. Per quanto riguarda i gruppi, essi sono chiusi rispetto alle operazioni binarie di somma e prodotto.

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Originariamente inviata da BlackHole

Ho capito, ti servono appunti sull'algebra lineare
Prova a vedere qui se ti soddisfa ;)
Dispense di Algebra Lineare

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grazie mille! adesso sto stampando poi leggo :)

Quote:

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Originariamente inviata da lordalbert

grazie mille! adesso sto stampando poi leggo :)

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Non farti spaventare dalla teoria, a prima vista sembra complessa, ma in realtà non è poi cosi difficile!

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Originariamente inviata da BlackHole

Non farti spaventare dalla teoria, a prima vista sembra complessa, ma in realtà non è poi cosi difficile!

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eh, ma infatti dovrei concentrarmi più sugli esercizi....

Ah scusa pensavo ti servissero dispense di teoria..
Per gli esercizi non hai i compiti vecchi d'esame con le soluzione. Aiuta molto esercitarsi su di essi.

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Originariamente inviata da BlackHole

Ok ti provo a fare qualche esempio ;) (ps: alle costanti togli la variabile t perchè non avrebbe senso scritto in questo modo)

Prendo come esempio l'equazione differenziale y''(x)-10y(x)=0 (in questo caso ho f(x)=0, è il caso piu semplice) con y(0)=y'(0)=1.
Per prima cosa risolvo l'equazione caratteristica. Se all'inizio ho un'equazione differenziale del tipo y''+ay'+by=0, l'equazione caratteristica diventa z^2+az+b=0.
Nel nostro caso ottengo z^2-10=0 con soluzioni z=+/- rad(10)
Detto questo, la soluzione consiste nel cercare una soluzione del tipo e^(zx) (z=radici dell'equazione caratteristica)
Quindi la soluzione generale dell'equazione differenziale è data da:
y(x)=n*e^(rad(10)x)+m*e(-rad(10)x)
Basta porre y(0)=y'(0)=1 e risolvere il sistema seguente:

n+m=1
n*rad(10)-m*rad(10)=1

Alla fine ottieni la soluzione, ovvero la funzione cercata:
y(x)=(rad(10)+1/2*rad(10))*(e^(rad(10)x))+(rad(10)-1/2rad(10))*(e^(-rad(10)x))

sarà sicuramente pesante da leggere, abbi pazienza. Spero solo di averti un po chiarito i passaggi.

Ora non posso, ma domani se riesco scrivo un esempio sul caso y''(t) + a*y'(t) + b*y(t) = f(t)

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Grazie =) Sul mio libro di teoria non riesco a capire molto. Mi dice che, data la soluzione particolare nella forma

Y(t) = c1(t)*y1(t)+c2(t)*y2(t)

Si arriva a risolvere il sistema:

c1'*y1 + c2'*y2 = 0
c1'*y1' + c2'*y2' = f

che una volta risolto dovrebbe fornire c1'(t) e c2'(t), le quali vanno poi integrate. Se non ho capito male y1(t) e y2(t) le ricavi risolvendo l'equazione di secondo grado L^2+a*L+b=0 giusto? E quindi, come per le equazioni a coefficienti costanti, devo considerare i casi in cui il "delta" sia maggiore, minore o uguale a zero e quindi avrò soluzioni nella forma

D > 0: c1*e^z1 + c2*e^z2
D = 0: c1*e^(z*x) + x*c2*e^(z*x)
D < 0: (e^A*x)*(c1*cos(B*x) + c2*sin(B*x)) (radici nella forma A+iB)



Ho dato un'occhiata qui e credo di aver capito =) Metodo delle variazioni delle costanti (o di Lagrange)
Perchè il metodo che hai applicato tu mi sembra lo stesso che ho sempre applicato alle EDO a coefficienti costanti. Mi perdo facilmente in queste cose :( T_T

Quindi, riassumendo, l'unica differenza che c'è tra questo metodo e quello applicato in caso di coefficienti costanti (quello che hai mostrato tu) è che devo risolvere un sistema in due incognite e due equazioni e integrare tali soluzioni, che poi diventeranno c1 e c2, però non devo risolvere nessun problema di Cauchy perchè le condizioni sono imposte nel sistema (se non sbaglio tu hai risolto un problema di Cauchy imponendo y(0)=y'(0)=1).
Giusto o sbaglio?



PS: la soluzione della tua eq. mi viene un po' diversa :(
y(x) = (rad(10)/2 + 1/2)*e^(rad(10)*x) - (rad(10)/2 - 1/2)*e^(-rad(10)*x)

PPS: mi rendo conto che è un casino scrivere le formule senza formattazione T_T spero che implementino la funzionalità LaTeX il più presto possibile

domanda: come può uno che con la matematica ha gli stessi rapportiche hanno silvio berlusconi e la magistratura italiana tra loro portare a termine gli studi in un dipartimento della facltà di scienze matematiche fisiche e naturali? :cry: a roma dicono "ugn'à posso fà" :087:

Quote:

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Originariamente inviata da Technics

domanda: come può uno che con la matematica ha gli stessi rapportiche hanno silvio berlusconi e la magistratura italiana tra loro portare a termine gli studi in un dipartimento della facltà di scienze matematiche fisiche e naturali? :cry: a roma dicono "ugn'à posso fà" :087:

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Dipende da che facoltà vorresti fare di quelle di scienze matematiche, fisiche e naturali. Se la matematica non ti va a genio ti sconsiglio di fare fisica.

ma anche in fisica matematica a buoni livelli c'è e va saputa :roll: vedo bene una mia cara amica... laureanda al 5° anno...

io stesso che faccio chimica ne ho dovuti fare 2 di esami di matematica...

meno male che a scienze naturali ho solo un paio di esami....
La matematica è complicata xkè nn c'è nessuno che la spiega in modo semplice ....Black puoi confermare??