Esercizi su limiti notevoli: Aiuto! :(
Qualcuno mi aiuti!!
Venerdì ho il compito di matematica e ho qualche problema con i limiti notevoli. Ad esempio, non riesco a fare questi due esercizi:
Tenendo conto che lim per x->0 di senx/x=1 verificare con il calcolo i seguenti limiti:
a) lim per x->π/4 di (senx-cosx)/(x-π/4) = radicedi2
b) lim per x->0 di [x(1-cosx)+2sen2x]/(4x-3senx) = 4
C'è qualcuno che mi darebbe una mano, per favore?
dopo ci provo, tanto mi tocca studiare analisi I e ripassare i limiti non fa mai male
*Seta*
Miao ^^
Allora..
Il primo si risolve con una sostituzione:
y=x-pi/4. Quindi, quando x->pi/4, y->0 e inoltre x=y+pi/4.
Quindi il limite diventa:
lim per y->0 [sin(y+pi/4) -cos(y+pi/4)]/y.
Dalle formule di addizione hai:
sin(y+pi/4)=sin(y)cos(pi/4) + sin(pi/4)cos(y)
e
cos(y+pi/4)=cos(y)cospi/4) - sin(y)sin(pi/4).
Siccome sin(pi/4)=cos(pi/4)=rad(2)/2 ottieni:
lim y->0 rad(2)sin(y)/y = rad(2) per il limite notevole.
Il secondo.
Abbatti tutte le parentesi e dividi il numeratore, ottenendo tre limiti.
Il primo:
lim x->0 x/[4x-3sin(x)]
Mettendo in evidenza x al denominatore, quello del numeratore si semplifica, mentre al denominatore ottieni
4 - 3sin(x)/x che è di nuovo il limite notevole.
Questo primo limite quindi fa 1.
Allo stesso modo il secondo, ricordando che lim x->0 cos(x)=1.
Il terzo si fa sempre con una messa in evidenza, ma stavolta ottieni due limiti notevoli, uno al numeratore e uno al denominatore, e questo terzo limite fa 4.
Quindi, sommando algebricamente i tre risultati ottenuti, hai:
1-1+4=4.
Quest'ultimo è un po' difficile da spiegare..
Prova a fare come ho detto e fammi sapere
ero sicuro che mi anticipavi
Grazie mille Lyla!!!!
Mi hai aiutata tantissimo, grazie! Tra l'altro non sapevo che lim x->0 cos(x)=1, adesso che lo so ne farò buon uso!
Per quello basta ricordare i valori di seno e coseno degli angoli più importanti
Tipo 0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2, pi
[se uno li fissa graficamente sulla circonferenza goniometrica, non è nemmeno difficile ricavarli]
Almeno questi dovresti ricordarli, ti aiutano molto negli esercizi
Figurati ^^
Si in effetti ripensandoci mi sono resa conto di aver scritto una cretinata XD
Posso chiederti/vi un'altra cosa?
Facendo un esercizio mi è sorto un dubbio: sappiamo che lim x->0 sen(x)/x = 1; ma è vero anche che lim x->0 x/sen(x) = 1 ??
Perché, se non ho sbagliato qualcosa nei passaggi precedenti, ad un certo punto in un esercizio mi ritrovo così:
lim x->0 3y/sen(y) e dovrebbe venire 3 ...
Seguendo i tuoi consigli, Lyla, sono riuscita a fare altri 4 esercizi, ma mi sono bloccata su uno che credevo semplice (e magari lo è, ma sono io rimbambita XD):
lim x->0 x[sen(1/x) - 1/sen(x)] = -1
Spero di non accollarmi XD rispondi/rispondere senza fretta
Sì sì, tutto quello che hai scritto è giusto..
lim x->0 x/sin(x) =1.
Ma non ho capito a cosa ti riferisci..
Per quanto riguarda l'ultima domanda, il primo limite fa 0, mentre il secondo fa -1, quindi complessivamente il risultato è -1.
Ora, non so come spiegarti che il primo limite è 0.
O meglio, so come spiegartelo, ma non so quanto una spiegazione del genere a scuola vada bene..
lim x->0 xsin(1/x).
Saprai che sin(x) e cos(x) non hanno limiti all'infinito, perché continuano ad oscillare tra -1 e 1, indistintamente, quindi non ha senso parlare di lim x->oo sin(x).
Tuttavia si tratta di una quantità limitata [tra -1 e 1, appunto]. Questa quantità limitata [quindi un NUMERO] viene moltiplicata per 0 [perché tu hai xsin(1/x)] e qualsiasi numero FINITO moltiplicato per 0, fa 0.
Quindi l'unico contributo ti viene dato da secondo limite..
Ah ho capito. Grazie ancora
Per quanto riguarda la prima cosa, mi riferivo a un esercizio che stavo svolgendo (nessuno di quelli già citati) in cui mi sono resa conto che, affinché venisse il risultato giusto, doveva per forza essere lim x->0 x/sen(x) =1. Ma non ne ero certa: c'è qualche ragionamento matematico che avrei dovuto essere in grado di fare per rispondermi da sola che quella cosa è giusta? XD
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